Answer :

Correct answer is : 2

$f(x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{x}g(t)\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1-<!--\; -\; -->t}{1+t}\right)dt$

$f(-<!--\; -\; -->x)={\int <!--\; \int \; -->}_0^{-<!--\; -\; -->x}g(t)\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1-<!--\; -\; -->t}{1+t}\right)dt$

$f(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x}g(-<!--\; -\; -->y)\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1+y}{1-<!--\; -\; -->y}\right)dy$

$=-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{x}g(y)\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1-<!--\; -\; -->y}{1+y}\right)dy$

$f(-<!--\; -\; -->x)=-<!--\; -\; -->f(x)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->f$ is also odd

$$Now,

$I={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}(f(x)+\frac{x^2\cos <!--\; \; -->x}{1+e^x})dx....(1)$

$I={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}(f(-<!--\; -\; -->x)+\frac{x^2{e}^x\cos <!--\; \; -->x}{1+e^x})dx....(2)$

$2I={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}{x}^2\cos <!--\; \; -->xdx=2{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}{x}^2\cos <!--\; \; -->xdx$

$I={(x^2\sin <!--\; \; -->x)}_0^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}2x\sin <!--\; \; -->xdx$

$=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{4}-<!--\; -\; -->2{(-<!--\; -\; -->x\cos <!--\; \; -->x+\int <!--\; \int \; -->\cos <!--\; \; -->xdx)}_0^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}$

$=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{4}-<!--\; -\; -->2(0+1)$

$=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{4}-<!--\; -\; -->2$

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->{\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}\right)}^2-<!--\; -\; -->2$

∴ α = 2