Answer :

$\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{3+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\sin <!--\; \; -->x+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\cos <!--\; \; -->x+{\log }_e<!--\; \; -->(1-<!--\; -\; -->x)}{3{\tan }^2<!--\; \; -->x}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{3+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}[x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3!}+\dots <!--\; \dots \; -->]+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}[1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\dots <!--\; \dots \; -->]+(-<!--\; -\; -->x-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2}-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3}\dots <!--\; \dots \; -->)}{3{\tan }^2<!--\; \; -->x}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\underset{x\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{(3+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})+(\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1)x+(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2})x^2+\dots <!--\; \dots \; -->}{3x^2}\times <!--\; \times \; -->\frac{x^2}{{\tan }^2<!--\; \; -->x}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+3=0,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->1=0\text{ and }\frac{-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{2}}{3}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=-<!--\; -\; -->3,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=1$

$\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->2\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=2+3=5$